Álgebra linear Exemplos

${| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Remova o valor absoluto em

${| p + q |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

${(p + q)}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Etapa 1.2

Remova o valor absoluto em

${| p - q |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Remova o valor absoluto em

${| p |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Etapa 2.2

Remova o valor absoluto em

${| q |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

Etapa 3

Mova todos os termos que contêm

$p$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Subtraia

$2 p^{2}$ dos dois lados da equação.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Reescreva

${(p + q)}^{2}$ como

$(p + q) (p + q)$ .

$(p + q) (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.2

Expanda

$(p + q) (p + q)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (p + q) + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p \cdot p + p q + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Multiplique

$p$ por

$p$ .

$p^{2} + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.3.1.2

Multiplique

$q$ por

$q$ .

$p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.3.2

Some

$p q$ e

$q p$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Reordene

$q$ e

$p$ .

$p^{2} + p q + p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.3.2.2

Some

$p q$ e

$p q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.4

Reescreva

${(p - q)}^{2}$ como

$(p - q) (p - q)$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + (p - q) (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.5

Expanda

$(p - q) (p - q)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p (p - q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1.1

Multiplique

$p$ por

$p$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.6.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.6.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.6.1.4

Multiplique

$q$ por

$q$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1.4.1

Mova

$q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.6.1.4.2

Multiplique

$q$ por

$q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.6.1.5

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.6.1.6

Multiplique

$q^{2}$ por

$1$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.6.2

Subtraia

$q p$ de

$- p q$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.2.1

Mova

$q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - 1 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.2.6.2.2

Subtraia

$p q$ de

$- p q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.3

Combine os termos opostos em

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Subtraia

$2 p q$ de

$2 p q$ .

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + 0 + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.3.2

Some

$p^{2} + q^{2} + p^{2}$ e

$0$ .

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.4

Some

$p^{2}$ e

$p^{2}$ .

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.5

Combine os termos opostos em

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Subtraia

$2 p^{2}$ de

$2 p^{2}$ .

$q^{2} + q^{2} + 0 = 2 q^{2}$

Etapa 3.5.2

Some

$q^{2} + q^{2}$ e

$0$ .

$q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 3.6

Some

$q^{2}$ e

$q^{2}$ .

$2 q^{2} = 2 q^{2}$

Etapa 4

Divida cada termo em

$2 q^{2} = 2 q^{2}$ por

$2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida cada termo em

$2 q^{2} = 2 q^{2}$ por

$2$ .

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida

$q^{2}$ por

$1$ .

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Cancele o fator comum.

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Etapa 4.3.1.2

Divida

$q^{2}$ por

$1$ .

$q^{2} = q^{2}$

Etapa 5

Como os expoentes são iguais, as bases deles nos dois lados da equação devem ser iguais.

$| q | = | q |$

Etapa 6

Resolva

$q$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$q = q$

$q = - q$

$- q = q$

$- q = - q$

Etapa 6.2

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$q = q$

$q = - q$

Etapa 6.3

Resolva

$q = q$ para

$q$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Mova todos os termos que contêm

$q$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Subtraia

$q$ dos dois lados da equação.

$q - q = 0$

Etapa 6.3.1.2

Subtraia

$q$ de

$q$ .

$0 = 0$

Etapa 6.3.2

Como

$0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira.

Sempre verdadeiro

Etapa 6.4

Resolva

$q = - q$ para

$q$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Mova todos os termos que contêm

$q$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Some

$q$ aos dois lados da equação.

$q + q = 0$

Etapa 6.4.1.2

Some

$q$ e

$q$ .

$2 q = 0$

Etapa 6.4.2

Divida cada termo em

$2 q = 0$ por

$2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Divida cada termo em

$2 q = 0$ por

$2$ .

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 6.4.2.2.1.2

Divida

$q$ por

$1$ .

$q = \frac{0}{2}$

Etapa 6.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1

Divida

$0$ por

$2$ .

$q = 0$

Etapa 6.5

Liste todas as soluções.

$q = 0$

Etapa 7

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 8